Integral

Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah \int\,

Integral terbagi dua yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Bedanya adalah integral tertentu memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tertentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas.
Daftar isi
[sembunyikan]

* 1 Mencari nilai integral
o 1.1 Substitusi
o 1.2 Integrasi parsial
o 1.3 Substitusi trigonometri
o 1.4 Integrasi pecahan parsial
* 2 Rumus integrasi dasar
o 2.1 Umum
o 2.2 Bilangan natural
o 2.3 Logaritma
o 2.4 Trigonometri
* 3 Lihat pula
* 4 Pranala Luar

[sunting] Mencari nilai integral
[sunting] Substitusi

Contoh soal:
Cari nilai dari:

Integrasi parsial

Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:

Contoh soal:
Cari nilai dari:

Gunakan rumus di atas

Substitusi trigonometri
Bentuk

Gunakan

Contoh soal:
Cari nilai dari:

Cari nilai dari:

dengan menggunakan substitusi

Masukkan nilai tersebut:

Nilai sin A adalah

[sunting] Integrasi pecahan parsial

Contoh soal:
Cari nilai dari:

Akan diperoleh dua persamaan yaitu A+B = 0\, dan A-B = -\frac{1}{2}
Dengan menyelesaikan kedua persamaan akan diperoleh hasil A = -\frac{1}{4}, B = \frac{1}{4}\,

\int\frac{dx}{x^2-4}\,
= \frac{1}{4} \int (\frac{1}{x-2} - \frac {1}{x+2})\,dx\,
= \frac{1}{4} (ln|x-2| - ln|x+2|) + C\,
= \frac{1}{4} ln|\frac{x-2}{x+2}| + C\,

[sunting] Rumus integrasi dasar
[sunting] Umum
[sunting] Bilangan natural

\int e^u du= e^u + C\,

[sunting] Logaritma

\int \log_b(x) \,dx = x \log_b(x) - \frac{x}{\ln(b)} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C

[sunting] Trigonometri

\int\sin x\,dx = -\cos x + C\,
\int\cos x\,dx = \sin x + C\,
\int\tan x\,dx = \ln |\sec x| + C\,
\int\cot x\,dx = \ln |\sin x| + C\,
\int\sec x\,dx = \ln |\sec x + \tan x| + C\,
\int\csc x\,dx = \ln |\csc x - \cot x| + C\,
\int\sec^2 x\,dx = \tan x + C\,
\int\csc^2 x\,dx = - \cot x + C\,
\int\sec x\tan x\,dx = \sec x + C\,
\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C\, 

Vektor (spasial) .

Vektor (spasial) .

Vektor (spasial)

.

Vektor dalam matematika dan fisika adalah obyek geometri yang memiliki besar dan arah. Vektor jika digambar dilambangkan dengan tanda panah (→). Besar vektor proporsional dengan panjang panah dan arahnya bertepatan dengan arah panah. Vektor dapat melambangkan perpindahan dari titik A ke B.[1] Vektor sering ditandai sebagai

\overrightarrow{AB}.

Vektor berperan penting dalam fisika: posisi, kecepatan dan percepatan obyek yang bergerak dan gaya dideskripsikan sebagai vektor.

* 1 Panjang Vektor
* 2 Kesamaan dua vektor
* 3 Kesejajaran dua vektor
* 4 Operasi vektor
o 4.1 Perkalian skalar
o 4.2 Penambahan vektor dan pengurangan vektor
* 5 Vektor satuan
* 6 Lihat pula
* 7 Catatan kaki
* 8 Pranala luar

Panjang Vektor

Untuk mencari panjang sebuah vektor dalam ruang euklidian tiga dimensi, dapat digunakan cara berikut:

\left\|\mathbf{a}\right\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}

Kesamaan dua vektor

Dua buah vektor dikatakan sama apabila keduanya memiliki panjang dan arah yang sama
Kesejajaran dua vektor

Dua Buah Vektor disebut sejajar (paralel) apabila garis yang merepresentasikan kedua buah vektor sejajar.
Operasi vektor
Perkalian skalar

Sebuah vektor dapat dikalikan dengan skalar yang akan menghasilkan vektor juga, vektor hasil adalah:

r\mathbf{a}=(ra_1)\mathbf{i} +(ra_2)\mathbf{j} +(ra_3)\mathbf{k}

Penambahan vektor dan pengurangan vektor

Sebagai contoh vektor a=a1i + a2j + a3k dan b=b1i + b2j + b3k.

Hasil dari a ditambah b adalah:

\mathbf{a}+\mathbf{b} =(a_1+b_1)\mathbf{i} +(a_2+b_2)\mathbf{j} +(a_3+b_3)\mathbf{k}

pengurangan vektor juga berlaku dengan cara yang kurang lebih sama
Vektor satuan

Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang 1 satuan panjang. Vektor satuan dari sebuah vektor dapat dicari dengan cara:

\mathbf{\hat{a}} = \frac{\mathbf{a}}{\left\|\mathbf{a}\right\|} = \frac{a_1}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{\hat{i}} + \frac{a_2}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{\hat{j}} + \frac{a_3}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{\hat{k}}

Matriks

Matriks

Matriks (matematika)

Matriks adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan.

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix} \!

* 1 Penjumlahan dan pengurangan matriks
* 2 Perkalian Skalar
* 3 Perkalian matriks
* 4 Pranala luar

Penjumlahan dan pengurangan matriks

Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama.

a_{ij} \pm b_{ij} = c_{ij}\!

atau dalam representasi dekoratfinya

\begin{bmatrix} {3} & {4} \\ {6} & {5} \\ \end{bmatrix} \!

\begin{bmatrix} (a_{11} \pm b_{11}) & (a_{12} \pm b_{12}) & (a_{13} \pm b_{13}) \\ (a_{21} \pm b_{21}) & (a_{22} \pm b_{22}) & (a_{23} \pm b_{23}) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ \end{bmatrix} \!

Perkalian Skalar

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah skalar.

\lambda\cdot A := (\lambda\cdot a_{ij})_{i=1, \ldots , m; \ j=1, \ldots , n}

Contoh perhitungan :

5 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \cdot 1 & 5 \cdot (-3) & 5 \cdot 2 \\ 5 \cdot 1 & 5 \cdot 2 & 5 \cdot 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -15 & 10 \\ 5 & 10 & 35 \end{pmatrix}

Perkalian matriks

Matriks dapat dikalikan, dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama.

c_{ij}=\sum_{k=1}^m a_{ik}\cdot b_{kj}

Contoh perhitungan :

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ 3 & 2 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 6 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 0 & 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 + 3 \cdot (-3) \\ 4 \cdot 6 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 0 & 4 \cdot (-1) + 5 \cdot 2 + 6 \cdot (-3) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & -6 \\ 39 & -12 \end{pmatrix}